Question

如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，直線l經過點A并與AC垂直．當點P在直線l上運動到某一位置（點P不與點A重合）時，連接PC，并將△ACP繞點C按逆時針方向旋轉得到△BCQ，記點P的對應點為Q，線段PA的長為m（）．

（1）①∠QBC= ；

② 如圖1，當點P與點B在直線AC的同側，且時，點Q到直線l的距離等于 ；

（2）當旋轉后的點Q恰好落在直線l上時，點P，Q的位置分別記為，．在圖2中畫出此時的線段及△，并直接寫出相應m的值；

（3）當點P與點B在直線AC的異側，且△PAQ的面積等于時，求m的值．

Answer 1

（1）①90°；②；（2）作圖見試題解析，；（3）或或．

【解析】

試題分析：（1）由旋轉的性質，得到∠QBC=∠PAC=90°；

②過Q作QM⊥l于點M，延長AB交MQ于點N，過點N作NO⊥BQ于點O，可以得到∠NBQ=∠NQB=30°，得到NB=NQ，解直角三角形BNO得到NB=NQ=，得到AN=，在△AMN中，得到MN的值，從而得到MQ的長；

（2）所畫圖形如圖．由∠BAC=60°，∠CAQ0=90°，得到∠Q0AB=30°，同理有∠Q0BA=30°，得到Q0B= Q0A= P0A=m，在△Q0BC和△Q0AC中，由于 Q0B=Q0A，Q0C=Q0C，BC=AC，故△Q0BC≌△Q0AC，得到∠Q0CB=∠Q0CA=30°，從而計算出Q0B的長；

（3）作BG⊥AC于點G，過點Q作直線l的垂線交l于點D，交BG于點F，可以求出 QF=，要使△PAQ存在，則點P不能與點A，重合，所以點P的位置分為以下兩種情況：

①如圖2，當點P在（2）中的線段上（點P不與點A，重合）時，可得，此時點Q在直線l的下方．得到 DQ=DF-QF=．根據三角形面積公式有：．解方程可以得到m的值；

②如圖3，當點P在（2）中的線段的延長線上（點P不與點A，重合）時，可得，此時點Q在直線l的上方．此時DQ=QF-DF= ．根據三角形面積公式有：．．解方程可以得到m的值．

試題解析：【解析】
（1）①由旋轉的性質，得到△QBC≌△PAC，∠QBC=∠PAC=90°；

②過Q作QM⊥l于點M，延長AB交MQ于點N，過點N作NO⊥BQ于點O，如圖，∵∠BAC=60°，∠CAP=90°，∴∠PAB=30°，∠ANM=60°，∵∠CBQ=90°，，∠ABC=60°，∴∠NBQ=30°，∴∠NQB=30°，∴NB=NQ，∵BQ=AM=3，∴BO=，∴NO=，∴NB=NQ=，∵AB=4，∴AN=，∴MN=AN=，∴MQ=MN+NQ=．故當 m=3時，點Q到直線l的距離等于；

（2）所畫圖形如圖．∵∠BAC=60°，∠CAQ0=90°，∴∠Q0AB=30°，同理可得：∠Q0BA=30°，∴Q0B= Q0A= P0A=m，在△Q0BC和△Q0AC中，∵ Q0B=Q0A，Q0C=Q0C，BC=AC，∴△Q0BC≌△Q0AC，∴∠Q0CB=∠Q0CA=30°，∵BC=4，∴Q0B=；

（3）作BG⊥AC于點G，過點Q作直線l的垂線交l于點D，交BG于點F，∵ CA⊥直線l，∴ ∠CAP=90，易證四邊形ADFG為矩形，∵ 等邊三角形ABC的邊長為4，∴ ∠ACB=60，DF=AG=CG=AC=2，∠CBG=∠CBA=30°，∵ 將△ACP繞點C按逆時針方向旋轉60°得到△BCQ，∴ △ACP≌△BCQ．∴ AP = BQ = m，∠PAC=∠QBC=90．∴ ∠QBF=60．在Rt△QBF中，∠QFB=90，∠QBF=60，BQ=m，∴ QF=，

要使△PAQ存在，則點P不能與點A，重合，所以點P的位置分為以下兩種情況：

①如圖2，當點P在（2）中的線段上（點P不與點A，重合）時，可得，此時點Q在直線l的下方．∴ DQ=DF-QF=．∵，∴ ．整理，得．解得或．經檢驗，或在的范圍內，均符合題意；

②如圖3，當點P在（2）中的線段的延長線上（點P不與點A，重合）時，可得，此時點Q在直線l的上方．∴DQ=QF-DF= ．∵ ，∴ ．整理，得 ．解得 （舍負）．經檢驗，在的范圍內，符合題意．

綜上所述，或或時，△PAQ的面積等于．

考點：1．等邊三角形的性質；2．全等三角形的判定與性質；3．旋轉的性質．