Question

1．在平面直角坐標系xOy中，頂點D在第一象限的拋物線y=-x²-kx-（k-1）與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點（點A在點B的左側，OA＜OB），交y 軸于點C，且x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=10．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設△ABC的外接圓圓心為P，過P的直線與直線AC交于Q，與x軸交于R，若△ABC與△ARQ相似，求R的坐標；
（3）將此拋物線從點B沿射線BD方向平移（使得頂點D始終在BD上），若平移后的拋物線與直線BD交于點N、K，在y正半軸上是否存在點M，使△MNK為等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線對應的一元二次方程兩根之間關系求出K值，代回拋物線，驗算滿足頂點D在第一象限即可求出拋物線解析式；
（2）利用三角形外心性質求出P的坐標，設出PQ直線解析式，聯立方程組，求出點P、Q坐標，利用兩點間距離公式，求出相似三角形對應線段的長，分類討論相似三角形，即可求出點R的坐標；
（3）求出直線BD解析式及線段BD長度，由題意知BD=KN，設出點N點K坐標，利用等腰三角形性質求出點M坐標；

解答 解：（1）令y=0，
-x²-kx-（k-1）=0，
∴（x-1）[x+（k-1）]=0，
∴x=1或x=1-k，
∵x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=10，
∴1+（1-k）²=10．
解得：k=4，或k=-2，
當k=4，拋物線為y=-x²-4x-3，
頂點D橫坐標為-2，不在第一象限，舍去，
當k=-2時，拋物線解析式為：y=-x²+2x+3，
頂點坐標D（1，4），
∴拋物線解析式為：y=-x²+2x+3．

（2）由（1）得：A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴線段AB垂直平分線為直線x=1，
線段BC的垂直平分線為直線y=x，
聯立得P（1，1），
直線AC解析式為：y=3x+3，
設直線PQ：y=kx+b，代入（1，1），
得y=kx+1-k，
令y=0，x=$\frac{k-1}{k}$，
∴R（$\frac{k-1}{k}$，0）
聯立：直線AC和QR
求得Q（$\frac{2+k}{k-3}$，$\frac{6k-3}{k-3}$），
利用勾股定理求得：
AC=$\sqrt{10}$，AB=4，AQ=$\sqrt{（-1-\frac{2+k}{k-3}）^{2}+（\frac{6k-3}{k-3}）^{2}}$），AR=$\frac{k-1}{k}$+1
當△ARQ∽△ABC時，
$\frac{AC}{AQ}$=$\frac{AB}{AR}$，解得：k=-1，
∴R（2，0）．
當△ARQ∽△ACB時，
$\frac{AC}{AR}=\frac{AB}{AQ}$，解得k=-2，
∴R（$\frac{3}{2}$，0）．
∴R的坐標為R（$\frac{3}{2}$，0）或R（2，0）．

（3）設直線BD解析式為y=kx+b，
∵B（3，0），D（1，4），
代入直線解析式得：k=-2，b=6，
∴直線BD解析式為y=-2x+6，
BD=$\sqrt{{4}^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
設點M（0．b），
當BM=BD=2$\sqrt{5}$，
∴OM=$\sqrt{B{M}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{20-9}$=$\sqrt{11}$，
∴M（0，$\sqrt{11}$．
當BD=BM時，根據拋物線對稱性，點M在y軸負半軸，不符合題意．
當BM=DM時，
$\sqrt{9+{b}^{2}}$=$\sqrt{1+（4-b）^{2}}$，
解得：b=1，
∴M（0，1）．
綜上所述，點M坐標為（0，1）或（0，$\sqrt{11}$）．

點評 題目考查的二次函數的綜合應用，通過對二次函數一次函數解析式的求解，結合相似三角形，考查學生解決綜合問題的能力，題目整體較難，屬于壓軸題，適合學生針對中考壓軸訓練．