Question

10．如圖，在正五邊形ABCDE中，對角線AD、AC與EB分別交于點M、N．
（1）求證：△ABE≌△EDA；
（2）求證：點M是AD的黃金分割點．

Answer 1

分析 （1）根據正五邊形的性質得到AB=DE=AE，∠BAE=∠AED=108°，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；
（2）根據正五邊形的性質得到∠DAE=∠DAE，∠ADE=∠AEM=36°，推出△AME∽△AED，根據相似三角形的性質得到$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，于是得到AE²=AD•AM，等量代換即可得到結論．

解答 證明：（1）∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴AB=DE=AE，∠BAE=∠AED=108°，
在△ABE與△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAE=∠AED}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EDA；

（2）∵∠DAE=∠DAE，∠ADE=∠AEM=36°，
∴△AME∽△AED，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，
∴AE²=AD•AM，
∵AE=DE=DM，
∴DM²=AD•AM，
∴點M是AD的黃金分割點．

點評 本題考查了正五邊形的性質、全等三角形的判定和性質，黃金分割，熟記正五邊形的性質是解題的關鍵．