Question

16．如圖，AB是⊙O的直徑，點D是⊙O上一點，點C是弧AD的中點，連接AC、BD、AD、BC交于點Q．
（1）若∠DAB=40°，求∠CAD的大小；
（2）若CA=10，CB=16，求CQ的長．

Answer 1

分析 （1）先根據∠DAB=40°求出$\widehat{BD}$的度數，進而可得出$\widehat{AD}$的度數，由點C是弧AD的中點求出$\widehat{CD}$的度數，由弧與圓周角的關系即可得出結論；
（2）根據$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$可得出∠CAQ=∠CBA，故可得出△ACQ∽△BCA，根據相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．

解答 解：（1）∵∠DAB=40°，
∴$\widehat{BD}$=80°，
∴$\widehat{AD}$=180°-80°=100°．
∵點C是弧AD的中點，
∴$\widehat{CD}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{AD}$=50°，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$$\widehat{CD}$=25°；

（2）∵點C是弧AD的中點，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAQ=∠CBA．
∵∠ACQ=∠BCA，
∴△ACQ∽△BCA，
∴$\frac{CQ}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，即CQ=$\frac{AC•AC}{BC}$=$\frac{10×10}{16}$=$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關鍵．