Question

2．如圖，AB為⊙O的直徑，E、F為AB的三等分點，M、N為$\widehat{AB}$上兩點，且∠MEB=∠NFB=60°，EM+FN=$\sqrt{33}$，則直徑AB的長為6．

Answer 1

分析 延長ME交⊙O于G，過點O作OH⊥MG于H，連接MO，過O作OP⊥FN，垂足為P，首先證明FN=EG，根據圓的直徑求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根據垂徑定理可得MG=2MH，從而得解．

解答 解：延長ME交⊙O于G，過點O作OH⊥MG于H，連接MO，過O作OP⊥FN，垂足為P
因為O為AB的中點，E，F為AB的三等分點，所以OE=OF，
又因為MG∥FN，
∴∠MEF=∠NFB=∠OFP
∵∠OHG=∠OPF=90°
∴△OHE≌△OPF
∴OH=OP，
同理可證Rt△OHG≌Rt△OPN，
∴∠G=∠N
易證△OEG≌△OFN，
∴EG=FN，
∵⊙O的直徑AB=x，
∴OE=OA-AE=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{3}$x=$\frac{1}{6}$x，
OM=$\frac{1}{2}$x，
∵∠MEB=60°，
∴OH=OE•sin60°=$\frac{x}{6}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}x}{12}$，
在Rt△MOH中，MH=$\sqrt{O{M}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{x}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}x}{12}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{36{x}^{2}-3{x}^{2}}{144}}$=$\frac{\sqrt{33{x}^{2}}}{12}$，
根據垂徑定理，MG=2MH=2×$\frac{\sqrt{33{x}^{2}}}{12}$=$\frac{\sqrt{33}x}{6}$，
即EM+FN=$\frac{\sqrt{33}x}{6}$=$\sqrt{33}$．
解得x=6，
故答案為：6．

點評 本題考查了垂徑定理，勾股定理的應用，以及解直角三角形，作輔助線并根據圓的中心對稱性得到FN=EG是解題的關鍵，也是本題的難點．