Question

14．閱讀下列兩則材料：
材料一：我們可以將任意三位數記為$\overline{abc}$（其中a，b，c分別表示該數百位數字、十位數字和個位數字，且a≠0），顯然$\overline{abc}$=100a+10b+c．
材料二：若一個三位數的百位數字、十位數字和個位數字均不為0，則稱之為原始數，比如123就是一個原始數，將原始數的三個數位上的數字交換順序，可產生出5個原始數，比如由123可以產生出132，213，231，312，321這5個原始數．將這6個數相加，得到的和1332稱為由原始數123生成的終止數．
利用材料解決下列問題：
（1）分別求出由下列兩個原始數生成的終止數：243，537；
（2）若一個原始數$\overline{4ab}$的終止數是另一個原始數$\overline{12a}$的終止數的3倍，分別求出所有滿足條件的這兩個原始數．

Answer 1

分析 （1）先寫出每個數產生的原始數，相加得到它們的終止數．
（2）根據各個原始數的和與終止數相等，得到原始數各個數位的數字和，然后寫出滿足條件的所有原始數．

解答 解：（1）有題意可得原始數243可產生234，324，342，432，423這六個數相加為243+234+324+342+432+423=1998．
原式數537可產生573，357，375，753，735這六個數相加為數537+573+357+375+753+735=3330．
（2）原始數$\overline{4ab}$可產生的數有$\overline{4ba}$，$\overline{a4b}$，$\overline{ab4}$，$\overline{b4a}$，$\overline{ba4}$，
終止數=400+10a+b+400+10b+a+100a+40+b+100a+10b+4+100b+40+a+100b+10a+4=888+222a+222b，
原始數$\overline{12a}$可產生的數有$\overline{1a2}$，$\overline{a21}$，$\overline{a12}$，$\overline{21a}$，$\overline{2a1}$終止數=100+20+a+100+10a+2+100a+20+1+100a+10+2+200+10+a+200+10a+1=222a+666，
∵原始數$\overline{4ab}$的終止數是原始數$\overline{12a}$的終止數的3倍，
∴（888+222a+222b）÷（222a+666）=3，
∴2a+5=b，
∵0＜a≤9，0＜b≤9，且a、b整數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=7}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=9}\end{array}\right.$，
∴這兩個原式數為417，121或者429，122．

點評 本題考查了寫原始數，算終止數，屬于新定義類問題．掌握原式數的得到規律，找到各個數位間的數字關系是解決本題的關鍵．