Question

6．如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD長為13米，坡度為1：$\frac{12}{5}$，高為DE．在斜坡底的點C處測得樓頂B的仰角為64°，在斜坡頂的點D處測得樓頂B的仰角為45°，其中點A、C、E在同一直線上，求斜坡的高 DE與大樓AB的高度．（參考數據：sin64°≈0.9，tan64°≈2）

Answer 1

分析 由斜坡CD坡度為1：$\frac{12}{5}$即DE：CE=5：12，設DE=5x，則CE=12x，在Rt△CDE中根據勾股定理求得x的值，即可知DE、CE的長；過點D作DF⊥AB于F，則AF=DE=5米，設BF=DF=a，則AC=AE-CE=DF-CE=a-12，AB=AF+BF=5+a，在Rt△ABC中，根據tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$可求得a的值，繼而可得AB的長．

解答 解：∵斜坡CD坡度為1：$\frac{12}{5}$，即DE：CE=5：12，
設DE=5x，則CE=12x，
∵CD=13，
在Rt△CDE中，DE²+CE²=CD²，即（5x）²+（12x）²=13²，
解得：x=-1（舍）或x=1，
故DE=5米，CE=12米；

過點D作DF⊥AB于F，
則AF=DE=5米，
∵∠BDF=45°，
∴設BF=DF=a，
則AC=AE-CE=DF-CE=a-12，AB=AF+BF=5+a，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{5+a}{a-12}$=2，
解得：a=29，
∴AB=BF+AF=29+5=34米，
答：斜坡CD的高度DE為5米，大樓的高AB為34米．

點評 本題主要考查解直角三角形的應用-坡度、坡角和仰角、俯角的問題，此類題目要求學生借助仰角構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形．