Question

15．如圖，圓心在y軸的負半軸上，半徑為5的⊙B與y軸的正半軸交于點A（0，1），過點P（0，-7）的直線l與⊙B相交于C，D兩點，則弦CD長的所有可能的整數值有3個．

Answer 1

分析 求出線段CD的最小值，及線段CD的最大值，從而可判斷弦CD長的所有可能的整數值．

解答 解：∵點A的坐標為（0，1），圓的半徑為5，
∴點B的坐標為（0，-4），
又∵點P的坐標為（0，-7），
∴BP=3，
①當CD垂直圓的直徑AE時，CD的值最小，
連接BC，
在Rt△BCP中，CP=$\sqrt{B{C}^{2}-B{P}^{2}}$=4；
故CD=2CP=8，
②當CD經過圓心時，CD的值最大，此時CD=直徑AE=10；
所以，8≤CD≤10，
綜上可得：弦CD長的所有可能的整數值有：8，9，10，共3個，
故答案為：3．

點評 本題考查了垂徑定理的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握垂直弦的直徑平分弦，本題需要討論兩個極值點，有一定難度．