Question

14．如圖，點E為⊙O的直徑AB上一個動點，點C、D在下半圓AB上（不含A、B兩點），且∠CED=∠OED=60°，連OC、OD
（1）求證：∠C=∠D；
（2）若⊙O的半徑為r，請直接寫出CE+ED的變化范圍．

Answer 1

分析 （1）延長CE交⊙O于D′，連接OD′，由已知求得∠AEC=60°，進而求得∠DEO=∠D′EO=60°，根據圓是軸對稱圖形即可證得∠D=∠D′，ED=ED′，然后根據等腰三角形的性質求得∠D′=∠C，從而證得結論；
（2）證得∠COD′＞60°，從而證得CD′＞OC=OD′，由CD′＜OC+OD′，CE+ED=CE+ED′=CD′，從而得出r＜CE+ED＜2r．

解答 證明：（1）延長CE交⊙O于D′，連接OD′
∵∠CED=∠OED=60°，
∴∠AEC=60°，
∴∠OED′=60°，
∴∠DEO=∠D′EO=60°，
由軸對稱的性質可得∠D=∠D′，ED=ED′，
∵OC=OD′，
∴∠D′=∠C，
∴∠C=∠D；

（2）∵∠D′EO=60°，
∴∠C＜60°，
∴∠C=∠D′＜60°，
∴∠COD′＞60°，
∴CD′＞OC=OD′，
∵CD′＜OC+OD′，
∵CE+ED=CE+ED′=CD′，
∴r＜CE+ED＜2r．

點評 本題考查了軸對稱的性質，軸對稱-最短路線問題，等腰三角形的性質，三角形外角的性質以及三角形三邊之間的關系，圓是軸對稱圖形是本題的關鍵．