Question

13．如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，∠BAC的平分線交⊙O于D，過D作⊙O的切線交AC的延長線于E，OE交AD于F．
（1）求證：DE⊥AE；
（2）若$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，求$\frac{DF}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由條件可證明OD∥AE，結合切線的性質可求得∠AED=90°，可證明DE⊥AE；
（2）設AC=3k，AB=5k，BC=4k，可證OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=4k，然后通過OD∥AE，利用相似比即可求出$\frac{DF}{AF}$的值．

解答 （1）證明：
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AE；
（2）解：
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥AE，
∴∠OGB=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，
∴G為BC的中點，即BG=CG，
又∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴設AC=3k，AB=5k，根據勾股定理得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4k，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$k，BG=$\frac{1}{2}$BC=2k，
∴OG=$\sqrt{O{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\frac{3}{2}$k，
∴DG=OD-OG=$\frac{5}{2}$k-$\frac{3}{2}$k=k，
又∵四邊形CEDG為矩形，
∴CE=DG=k，
∴AE=AC+CE=3k+k=4k，
而OD∥AE，
∴$\frac{FD}{AF}$=$\frac{OD}{AE}$=$\frac{\frac{5}{2}k}{4k}$=$\frac{5}{8}$．

點評 本題主要考查了切線的判定定理，能夠綜合運用角平分線的性質以及平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．