Question

17．如圖，矩形AOBC的頂點坐標分別為A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），動點F在邊BC上（不與B，C重合），過點F的反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象與邊AC交于點E，直線EF分別于y軸和x軸交于點D和G．給出下列命題：
①若k=$\frac{21}{8}$，則點C關于直線EF的對稱點在x軸上；
②若k=4，則△OEF的面積為$\frac{8}{3}$；
③滿足題設的k的取值范圍是0＜k≤12；
④若DE•EG=$\frac{25}{12}$，則K=1．
其中正確的命題的序號是①④（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 （1）如答圖所示，若k=$\frac{21}{8}$，可證明直線EF是線段CN的垂直平分線，故命題②正確；
（2）若k=4，則計算S_△OEF=$\frac{16}{3}$≠$\frac{8}{3}$，故命題①錯誤；
（3）因為點F不經過點C（4，3），所以k≠12，故命題③錯誤；
（4）求出直線EF的解析式，得到點D、G的坐標，然后求出線段DE、EG的長度；利用算式DE•EG=$\frac{25}{12}$，求出k=1，故命題④正確．

解答 解：
命題①正確．理由如下：
∵k=$\frac{21}{8}$，
∴E（$\frac{7}{8}$，3），F（4，$\frac{21}{32}$），
∴CE=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$，CF=3-$\frac{21}{32}$=$\frac{75}{32}$．
如答圖，過點E作EM⊥x軸于點M，則EM=3，OM=$\frac{7}{8}$；
在線段BM上取一點N，使得EN=CE=$\frac{25}{8}$，連接NF．
在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN=$\sqrt{E{N}^{2}-E{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{8}）^{2}-{3}^{2}}$=$\frac{7}{8}$，
∴BN=OB-OM-MN=4-$\frac{7}{8}$-$\frac{7}{8}$=$\frac{9}{4}$．
在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF=$\sqrt{B{N}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{9}{4}）^{2}+（\frac{21}{32}）^{2}}$=$\frac{75}{32}$．
∴NF=CF，
又∵EN=CE，
∴直線EF為線段CN的垂直平分線，即點N與點C關于直線EF對稱，
故命題①正確；
命題②錯誤．理由如下：
∵k=4，
∴E（$\frac{4}{3}$，3），F（4，1），
∴CE=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，CF=3-1=2．
∴S_△OEF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△CEF=S_矩形AOBC-$\frac{1}{2}$OA•AE-$\frac{1}{2}$OB•BF-$\frac{1}{2}$CE•CF=4×3-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$×4×1-$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×2=12-2-2-$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴S_△OEF≠$\frac{8}{3}$，故命題②錯誤；
命題③錯誤．理由如下：
由題意，點F與點C（4，3）不重合，所以k≠4×3=12，故命題③錯誤；
命題④正確．理由如下：
為簡化計算，不妨設k=12m，則E（4m，3），F（4，3m）．
設直線EF的解析式為y=ax+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{4ma+b=3}\\{4a+b=3m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{4}}\\{b=3m+3}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+3m+3．
令x=0，得y=3m+3，∴D（0，3m+3）；
令y=0，得x=4m+4，∴G（4m+4，0）．
如答圖，過點E作EM⊥x軸于點M，則OM=AE=4m，EM=3．
在Rt△ADE中，AD=OD-OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；
在Rt△MEG中，MG=OG-OM=（4m+4）-4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5．
∴DE•EG=5m×5=25m=$\frac{25}{12}$，解得m=$\frac{1}{12}$，
∴k=12m=1，故命題④正確．
綜上所述，正確的命題是：①④，
故答案為：①④．

點評 本題綜合考查了函數的圖象與性質、反比例函數圖象上點的坐標特征、比例系數k的幾何意義、待定系數法、矩形及勾股定理等多個知識點，有一定的難度．本題計算量較大，解題過程中注意認真計算．