Question

14．如圖，四邊形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，DF與AB相交于E．若AB=25，BC=15，P是射線DF上的動點(diǎn)．當(dāng)△BCP的周長最小時，DP的長為$\frac{125}{6}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)△ABC是直角三角形可求出AC的長，再根據(jù)AD=DC，DF⊥AC可求出AF=CF=$\frac{1}{2}$AC，故點(diǎn)C關(guān)于DE的對稱點(diǎn)是A，故E點(diǎn)與P點(diǎn)重合時△BCP的周長最小，再根據(jù)DE⊥AC，BC⊥AC可知，DE∥BC，由相似三角形的判定定理可知△AEF∽△ABC，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得出AE的長，同理，利用△AED∽△CBA即可求出DE的長．

解答 解：∵∠ACB=90°，AB=25，BC=15，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=20，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=10，
∴點(diǎn)C關(guān)于DE的對稱點(diǎn)是A，故E點(diǎn)與P點(diǎn)重合時△BCP的周長最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{10}{20}$=$\frac{AE}{25}$，解得AE=$\frac{25}{2}$，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽Rt△CBA，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{DE}{AB}$，即$\frac{\frac{25}{2}}{15}=\frac{DE}{25}$，解得DE=$\frac{125}{6}$．
故答案為：$\frac{125}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查的是軸對稱-最短線路問題及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出DE=DP是解答此題的關(guān)鍵．