Question

2．如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，m），點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△PAC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以求得m的值，從而可以求得a、b的值，從而可以求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)△PAC為直角三角形，可以得到PA⊥AC或PC⊥AC，然后針對(duì)兩種情況分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可解答本題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，m）在直線y=x+2上，
∴當(dāng)x=4時(shí)，y=4+2=6，
∴m=6，
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，6），
∵點(diǎn)A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，6）在拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×（\frac{1}{2}）^{2}+b×\frac{1}{2}+6=\frac{5}{2}}\\{a×{4}^{2}+b×4+6=6}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
即拋物線的解析式為：y=2x²-8x+6；
（2）∵△PAC為直角三角形，
∴PA⊥AC或PC⊥AC，
當(dāng)PA⊥AC時(shí)，
∵點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C，
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，2m²-8m+6），
將x=m代入y=x+2得，y=m+2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m+2），
∵點(diǎn)A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），點(diǎn)P（m，m+2），點(diǎn)C（m，2m²-8m+6），
∴$\frac{m+2-\frac{5}{2}}{m-\frac{1}{2}}•\frac{2{m}^{2}-8m+6-\frac{5}{2}}{m-\frac{1}{2}}=-1$，
解得，${m}_{1}=\frac{1}{2}$（舍去），m₂=3，
∴點(diǎn)P（3，5）；
當(dāng)PC⊥AC時(shí)，
∵點(diǎn)A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為$\frac{5}{2}$，
將y=$\frac{5}{2}$代入y=2x²-8x+6，得${x}_{1}=\frac{1}{2}，{x}_{2}=\frac{7}{2}$，
∴此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}，\frac{5}{2}$），
將x=$\frac{7}{2}$代入y=x+2，得y=$\frac{11}{2}$，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}，\frac{11}{2}$）；
由上可得，當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，5）或（$\frac{7}{2}，\frac{11}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題，解答此類問題的關(guān)鍵是明確待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法，會(huì)用分類討論的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解答問題，