Question

20．已知△ABC中，AB=8，AC=6，BC的長是一元二次方程x²-16x+60=0的一個實數根，則△ABC的面積為24或8$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由x²-16x+60=0，可利用因式分解法求得x的值，然后分別從x=6時，是等腰三角形；與x=10時，是直角三角形去分析求解即可求得答案．

解答 解：∵x²-16x+60=0，
∴（x-6）（x-10）=0，
解得：x₁=6，x₂=10，
當x=6時，則三角形是等腰三角形，如圖①：AC=BC=6，AB=8，CD是高，
∴AD=4，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×8×2$\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$；
當x=10時，如圖②，AC=6，BC=10，AB=8，
∵AC²+AB²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，∠A=90°，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×8×6=24．
∴該三角形的面積是：24或8$\sqrt{5}$．
故答案為：24或8$\sqrt{5}$．

點評 此題考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性質與直角三角形的性質．此題難度適中，解題的關鍵是注意分類討論思想，小心別漏解．