Question

5．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M，分別與AB、BC相交于點D、E．，則下列結(jié)論正確的是①④（將正確的結(jié)論填在橫線上）．
①s_△OEB=s_△ODB，②BD=4AD，③連接MD，S_△ODM=2S_△OCE，④連接ED，則△BED∽△BCA．

Answer 1

分析 ①正確．由四邊形ABCD是矩形，推出S_△OBC=S_△OBA，由點E、點D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，推出S_△CEO=S_△OAD=$\frac{k}{2}$，即可推出S_△OEB=S_△OBD．
②錯誤．設(shè)點B（m，n），D（m，n′）則M（$\frac{1}{2}$m，$\frac{1}{2}$n，），由點M，點D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，可得$\frac{1}{2}$m•$\frac{1}{2}$n=m•n′，推出n′=$\frac{1}{4}$n，推出AD=$\frac{1}{4}$AB，推出BD=3AD，故②錯誤．
③錯誤．因為S_△ODM=S_△OBD-S_△BDM=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$b•a-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$b•$\frac{1}{2}$a=$\frac{3}{16}$ab，S_△CEO=S_△OAD=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{1}{4}$b=$\frac{1}{8}$ab，所以S_△ODM：S_△OCE=$\frac{3}{16}$ab：$\frac{1}{8}$ab=3：2，故③錯誤．
④正確．由$\frac{BE}{EC}$=$\frac{BD}{AD}$=3，推出DE∥AC，推出△BED∽△BCA．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴S_△OBC=S_△OBA，
∵點E、點D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴S_△CEO=S_△OAD=$\frac{k}{2}$，
∴S_△OEB=S_△OBD，故①正確，
設(shè)點B（m，n），D（m，n′）則M（$\frac{1}{2}$m，$\frac{1}{2}$n，），
∵點M，點D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴$\frac{1}{2}$m•$\frac{1}{2}$n=m•n′，
∴n′=$\frac{1}{4}$n，
∴AD=$\frac{1}{4}$AB，
∴BD=3AD，故②錯誤，
連接DM，∵S_△ODM=S_△OBD-S_△BDM=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$b•a-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$b•$\frac{1}{2}$a=$\frac{3}{16}$ab，
∵S_△CEO=S_△OAD=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{1}{4}$b=$\frac{1}{8}$ab，
∴S_△ODM：S_△OCE=$\frac{3}{16}$ab：$\frac{1}{8}$ab=3：2，故③錯誤，
連接DE，同法可證CE=$\frac{1}{4}$BC，
∴BE=3EC，
∴$\frac{BE}{EC}$=$\frac{BD}{AD}$=3，
∴DE∥AC，
∴△BED∽△BCA，故④正確．
故答案為①④

點評 本題考查反比例函數(shù)綜合題、矩形的性質(zhì)、三角形的面積、中點坐標(biāo)公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會用分割法求三角形面積，屬于中考壓軸題．