Question

9．如圖，AB為⊙O的直徑，C為上半圓上一點，D為下半圓弧的中點，G為CD上一點，滿足DA=DG
（1）求證：G為△ABC的內心；
（2）延長AG交⊙O于E點，作EF⊥AC于F．若sin∠ABC=$\frac{4}{5}$，求tan∠FAE的值．

Answer 1

分析 （1）根據弧、弦、圓心角的關系得到∠DAB=∠DBA=∠ACD=∠BCD=45°，根據等腰三角形的性質、三角形的外角的性質得到∠BAG=∠CAG，證明結論；
（2）根據角平分線的性質得到$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BG}{CG}$=$\frac{5}{4}$，根據正弦的概念、正切的概念計算即可．

解答 證明：（1）∵D為下半圓弧的中點，
∴∠DAB=∠DBA=∠ACD=∠BCD=45°，
∵DA=DG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴45°+∠BAG=45°+∠CAG，
∴∠BAG=∠CAG，
∴AG、CG分別為∠CAB、∠ACB的平分線，
∴G為△ABC的內心；

（2）∵AE平分∠CAB，sin∠ABC=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BG}{CG}$=$\frac{5}{4}$，
設AB=5x，AC=4x，則BC=3x，GB=$\frac{5}{3}$x，CG=$\frac{4}{3}$x，
∴tan∠FAE=$\frac{CG}{AC}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查的是三角形的內切圓和內心、掌握三角形的內心的概念、角平分線的性質、正切的概念是解題的關鍵．