Question

14．已知二次函數y=-x²+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個交點坐標為（-1，0），與y軸的交點坐標為（0，3）．
（1）求出b、c的值，并寫出此二次函數的解析式；
（2）根據圖象，直接寫出函數值y為正數時，自變量x的取值范圍；
（3）當2≤x≤4時，求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）因為點（-1，0），（0，3）在拋物線y=-x²+bx+c上，可代入確定b、c的值；
（2）求出拋物線與x軸的交點坐標，根據圖象確定y＞0時，x的取值范圍；
（3）根據二次函數的增減性，確定2≤x≤4時，y的最大值．

解答 解：（1）把（-1，0），（0，3）代入y=-x²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以二次函數的解析式為：y=-x²+2x+3
（2）把x=0代入y=-x²+bx+c中，
得-x²+bx+c=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以當-1＜x＜3，y＞0；
（3）由y=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
拋物線的對稱軸為直線x=1，
則當2≤x≤4時，y隨著x的增大而減小，
∴當x=2時，y的最大值是3．

點評 本題考查了二次函數的圖象、極值、與x軸的交點等知識，掌握二次函數的性質，通常利用數形結合解決此類問題．