Question

5．如圖，已知P為等邊△ABC內的一點，且PA=5，PB=3，PC=4，將線段BP繞點P按逆時針方向旋轉60°至PQ的位置．
（1）求證：△ABP≌△CBQ
（2）求證：∠BPC=150°．

Answer 1

分析 （1）根據SAS即可證明．
（2））由△ABP≌△CBQ，推出PA=QC=4，由BP=BQ，∠PBQ=60°，推出△PBQ是等邊三角形，由PQ=3，∠BPQ=60°，在△PQC中，PC²+PQ²=4³+3²=5²=QC²，推出△PQC是直角三角形，推出∠QPC=90°，即可得出∠BPC=∠BPQ+∠QPC=150°．

解答 證明：（1）∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴∠PBQ=∠ABC，
∴∠ABP=∠CBQ，
在△ABP和△CBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABP=∠CBQ}\\{BP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBQ．

（2）∵△ABP≌△CBQ，
∴PA=QC=4，
∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△PBQ是等邊三角形，
∴PQ=3，∠BPQ=60°，
∵在△PQC中，PC²+PQ²=4³+3²=5²=QC²，
∴△PQC是直角三角形，
∴∠QPC=90°，
∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=60°+90°=150°．

點評 本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理逆定理，熟記性質與等邊三角形的判斷方法是解題的關鍵．