Question

1．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求△BCD的面積．
（3）在同一坐標(biāo)系中畫出直線y=x+1，并直接寫出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，
一次函數(shù)的值小于二次函數(shù)的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，把A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{4a+2b+c=0}\\{16a+4b+c=5}\end{array}\right.$，解方程組即可．
（2）首先求出點(diǎn)D坐標(biāo)，求出直線BC的解析式，求出直線BC與x軸的交點(diǎn)H坐標(biāo)，根據(jù)S_△BCD=S_△DHC+S_△DHB計(jì)算即可．
（3）先求出直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)一次函數(shù)的圖象在二次函數(shù)的圖象下方，即可寫出自變量的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
把A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{4a+2b+c=0}\\{16a+4b+c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1．

（2）對(duì)于拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1，令y=0，得$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1=0，解得x=2或-1，
∴另一個(gè)交點(diǎn)為D坐標(biāo)為（-1，0），
∵直線BC的解析式為y=$\frac{3}{2}$x-1，令y=0，得x=$\frac{2}{3}$，
設(shè)直線BC與x軸交于點(diǎn)H，則H（$\frac{2}{3}$，0），
∴S_△BCD=S_△DHC+S_△DHB=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×5+$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×1=5．

（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$，
由圖象可知，x＜-1或x＞4時(shí)，一次函數(shù)的值小于二次函數(shù)的值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)與不等式、待定系數(shù)法、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)利用方程組求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)會(huì)利用好像圖象，解決實(shí)際問題，屬于中考常考題型．