Question

6．如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設出發的時間為t秒．
（1）出發2秒后，求△ABP的周長；
（2）當t為幾秒時，BP平分∠ABC；
（3）問t為何值時，△BCP為等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理得出AC=8cm，進而表示出AP的長，由勾股定理求出PB，進而得出答案；
（2）過點P作PD⊥AB于點D，由HL證明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD=BC=6cm，因此BD=10-6=4cm，設PC=x cm，則PA=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）利用分類討論的思想和等腰三角形的特點及三角形的面積求出答案．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm
∴出發2秒后，則CP=2cm，那么AP=6cm．
∵∠C=90°，
∴由勾股定理得PB=2$\sqrt{10}$cm
∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=6+10+2$\sqrt{10}$=（16+2$\sqrt{10}$）cm；
（2）如圖2所示，過點P作PD⊥AB于點D，
∵BP平分∠ABC，
∴PD=PC．                                
在Rt△BPD與Rt△BPC中，$\left\{\begin{array}{l}{PD=PC}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD=BC=6 cm，
∴AD=10-6=4 cm．                            
設PC=x cm，則PA=（8-x）cm
在Rt△APD中，PD²+AD²=PA²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴當t=3秒時，AP平分∠CAB；  
（3）若P在邊AC上時，BC=CP=6cm，
此時用的時間為6s，△BCP為等腰三角形；
若P在AB邊上時，有兩種情況：
①若使BP=CB=6cm，此時AP=4cm，P運動的路程為12cm，
所以用的時間為12s，故t=12s時△BCP為等腰三角形；
②若CP=BC=6cm，過C作斜邊AB的高，根據面積法求得高為4.8cm，
根據勾股定理求得BP=7.2cm，
所以P運動的路程為18-7.2=10.8cm，
∴t的時間為10.8s，△BCP為等腰三角形；
③若BP=CP時，則∠PCB=∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程為13cm，所以時間為13s時，△BCP為等腰三角形．
∴t=6s或13s或12s或 10.8s 時△BCP為等腰三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理、三角形面積的計算；本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的判定與性質，進行分類討論是解決問題的關鍵．