Question

13．如圖，C是以AB為直徑的半圓O上一點，連結AC，BC，分別以AC，BC為邊向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FG，$\widehat{AC}$，$\widehat{BC}$的中點分別是M，N，P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=16，則AB的長為（　　）

• A． 9$\sqrt{2}$
• B． $\frac{90}{7}$
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 連接OP，OQ，根據DE，FC，$\widehat{AC}$，$\widehat{BC}$的中點分別是M，N，P，Q得到OP⊥AC，OQ⊥BC，從而得到H、I是AC、BD的中點，利用中位線定理得到OH+OI=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=8和PH+QI，從而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．

解答 解：連接OP，OQ，
∵DE，FG，$\widehat{AC}$，$\widehat{BC}$的中點分別是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中點，
∴OH+OI=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=8，
∵MH+NI=AC+BC=16，MP+NQ=12，
∴PH+QI=16-12=4，
∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=8+4=12，
故選C．

點評 本題考查了中位線定理的應用，解題的關鍵是正確的作出輔助線，題目中還考查了垂徑定理的知識，難度不大．