Question

8．如圖，在△ABC中，F(xiàn)是AB上一點，以AF為直徑的⊙O切BC于點D，交AC于點G，AC∥OD，OD與GF交于點E．
（1）求證：BC∥GF；
（2）如果tanA=$\frac{4}{3}$，AO=a，請你寫出求四邊形CGED面積的思路．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)，可得OD⊥BC，利用平行線的性質(zhì)可證得∠C=90°，由AF為直徑，可得∠AGF=90°，進而可得BC∥GF；
（2）先證明四邊形CGED為矩形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)、勾股定理求GF，OE，DE的長，進而可求四邊形CGED的面積．

解答 證明：（1）∵⊙O切BC于點D，
∴OD⊥BC，
∵AC∥OD，
∴∠C=∠ODB=90°，
∵AF為⊙O直徑，
∴∠AGF=90°=∠C，
∴BC∥GF．
解：（2）∵AC∥OD，BC∥GF
∴四邊形CGED為平行四邊形，
∵∠C=90°，
∴四邊形CGED為矩形，
∵tanA=$\frac{4}{3}$，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，
∵AF=2AO=2a，OF=a，
∴GF=AF•sinA=2a×$\frac{4}{5}$=$\frac{8a}{5}$，
∵OD⊥BC，
∴GE=EF=$\frac{1}{2}GF$=$\frac{4a}{5}$，
在Rt△OEF中，OE=$\sqrt{O{F}^{2}-E{F}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{4a}{5}）^{2}}$=$\frac{3a}{5}$，
∴DE=OD-OE=a-$\frac{3a}{5}$=$\frac{2a}{5}$，
∴S_{四邊形CGED}=GE•DE=$\frac{4a}{5}$×$\frac{2a}{5}$=$\frac{8{a}^{2}}{25}$．

點評 本題主要考查切線的性質(zhì)，解決此類題目時，要靈活運用切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)與判定．