Question

1．若k=4⁷+4¹⁰⁰⁴+4ⁿ，并且k是一個完全平方數，則正整數n=506或2000．

Answer 1

分析 本題分兩種情況討論n的取值．把4⁷+4¹⁰⁰⁴+4ⁿ化簡為完全平方式的形式，根據化簡后的式子得出n．

解答 解：（1）4⁷+4¹⁰⁰⁴+4ⁿ
=（2⁷）²+2•2⁷•2^2n-8+（2¹⁰⁰⁴）²
∵4⁷+4¹⁰⁰⁴+4ⁿ是一個完全平方數．
∴2^2n-8=2¹⁰⁰⁴，
即2n-8=1004．
∴當n=506時，4⁷+4¹⁰⁰⁴+4ⁿ是完全平方數；
（2）4⁷+4¹⁰⁰⁴+4ⁿ=（2⁷）²+2•2⁷•2²⁰⁰⁰+（2ⁿ）²，
∵4⁷+4¹⁰⁰⁴+4ⁿ是一個完全平方數．
∴2²⁰⁰⁰=2ⁿ，
∴n=2000．
綜上得n=506或2000．
故答案為：506，2000．

點評 本題考查了完全平方數的概念，如果一個數是一個完全平方數，那么一定可以表示為一個數的平方．