Question

17．如圖，△ABD是⊙O的內(nèi)接三角形，E是弦BD的中點，點C是⊙O外一點且∠DBC=∠A，連接OE延長與圓相交于點F，與BC相交于點C．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為6，BC=8，求弦BD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由垂徑定理的推論得出BE=DE，OE⊥BD，$\widehat{BF}=\widehat{DF}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BD}$，由圓周角定理得出∠BOE=∠A，證出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；
（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面積求出BE，即可得出弦BD的長．

解答 （1）證明：連接OB，如圖所示：
∵E是弦BD的中點，
∴BE=DE，OE⊥BD，$\widehat{BF}=\widehat{DF}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BD}$，
∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴∠BOE=∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC=90°，
∴∠OBC=90°，
即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，
∴OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵△OBC的面積=$\frac{1}{2}$OC•BE=$\frac{1}{2}$OB•BC，
∴BE=$\frac{OB•BC}{OC}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8，
∴BD=2BE=9.6，
即弦BD的長為9.6．

點評 本題考查了切線的判定、垂徑定理的推論、圓周角定理、勾股定理、三角形面積的計算；熟練掌握垂徑定理的推論和圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．