Question

7．如圖，對稱軸為直線x=-1的拋物線y=x²+bx+c與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標(biāo)為（-3，0），點C為拋物線與y軸的交點．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）若點P在拋物線上，且S_△POC=4S_△BOC，求點P的坐標(biāo)；
（4）設(shè)點Q為線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由A點坐標(biāo)，結(jié)合對稱軸為x=-1，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，即可求得B點的坐標(biāo)；
（2）把A、B兩點坐標(biāo)代入，根據(jù)待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（3）由拋物線解析式可求得C點坐標(biāo)，然后設(shè)P點坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），根據(jù)S_△POC=4S_△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點P的坐標(biāo)；
（4）先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-x-3，再設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，-x-3），則D點坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值．

解答 解：
（1）∵對稱軸為直線x=-1的拋物線y=x²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，
∴A、B兩點關(guān)于直線x=-1對稱，
∵點A的坐標(biāo)為（-3，0），
∴點B的坐標(biāo)為（1，0）；
（2）∵拋物線y=x²+bx+c的對稱軸為直線x=-1，
∴-$\frac{b}{2}$=-1，解得b=2．
將B（1，0）代入y=x²+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=-3．
則二次函數(shù)的解析式為y=x²+2x-3；
（3）由（2）可知C（0，-3），
∴OC=3，
設(shè)P點坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），
∵S_△POC=4S_△BOC，
∴$\frac{1}{2}$×3×|x|=4×$\frac{1}{2}$×3×1，
∴|x|=4，x=±4．
當(dāng)x=4時，x²+2x-3=16+8-3=21；
當(dāng)x=-4時，x²+2x-3=16-8-3=5．
∴點P的坐標(biāo)為（4，21）或（-4，5）；
（4）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t   （k≠0）將A（-3，0），C（0，-3）代入，
得 $\left\{\begin{array}{l}{-3k+t=0}\\{t=-3}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{t=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-x-3．
設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，-x-3）（-3≤x≤0），則D點坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），
QD=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時，QD有最大值$\frac{9}{4}$．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形面積、線段長度問題、方程思想等知識．在（1）中注意利用二次函數(shù)的對稱性，在（2）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（3）中用P點坐標(biāo)表示出△POC的面積是解題的關(guān)鍵，在（4）中用Q點的坐標(biāo)表示出QD的長度是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．