Question

1．如圖，P是線段AB上異于端點的動點，且AB=6，分別以AP、BP為邊，在AB的同側作等邊△APM和等邊△BPN，則△MNP外接圓半徑的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分別作∠A與∠B角平分線，交點為O．由三線合一可知AP與BP為PM、PN垂直平分線；再由垂徑定理可知圓心O在PM、PN垂直平分線上，即圓心O是一個定點，連OP，若半徑OP最短，則OP⊥AB，由△AOB為底邊6，底角30°的等腰三角形，由此即可解決問題．

解答 解：分別作∠A與∠B角平分線，交點為O，連接OP，
∵△AMP和△NPB都是等邊三角形，
∴AO與BO為PM、PN垂直平分線．
∵圓心O在PM、PN垂直平分線上，即圓心O是一個定點，
若半徑OP最短，則OP⊥AB．
又∵∠OAP=∠OBP=30°，AB=3，
∴OA=OB，
∴AP=BP=3，
∴在直角△AOP中，OP=AP•tan∠OAP=3×tan30°=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了圓的綜合題．需要掌握等邊三角形的“三線合一”的性質，三角形的外接圓圓心為三角形的垂心，點到直線的距離垂線段最短以及解直角三角形等知識點，注意數形結合數學思想的應用．