Question

12．如圖，AC⊥BC，AC=BC，點D是AB中點，過C、D的⊙O交AC、BC分別于E、F．若⊙O的半徑為$\sqrt{3}$，AC=2+2$\sqrt{2}$，則△CEF的面積為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $2+\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 要求△CEF的面積，關鍵是求出CE和CF的乘積，根據題目中條件可以證明△EDC≌△FDB，得到CE和BF的關系，再根據勾股定理和⊙O的半徑為$\sqrt{3}$，AC=2+2$\sqrt{2}$，可以求得CE和CF的乘積，本題得以解決．

解答 解：連接CD、ED、DF、EF，如右圖所示，
∵AC⊥BC，AC=BC，點D是AB中點，
∴CD=DA=DB，∠CDB=90°，∠ECD=∠FBD=45°，
又∵EF是⊙O的直徑，
∴∠EDF=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
在△EDC和△FDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECD=∠FBD}\\{CD=BD}\\{∠EDC=∠FDB}\end{array}\right.$，
∴△EDC≌△FDB（ASA），
∴CE=BF，
又∵AC=BC，AC=2+2$\sqrt{2}$，
∴BC=2+2$\sqrt{2}$，
即BF+FC=2+2$\sqrt{2}$，
∴CF+CE=2+2$\sqrt{2}$，
又∵∠ECF=90°，⊙O的半徑為$\sqrt{3}$，
∴CE²+CF²=EF²，EF=2$\sqrt{3}$，
解得，CE•CF=4$\sqrt{2}$，
∴△CEF的面積為：$\frac{CE•CF}{2}=2\sqrt{2}$，
故選B．

點評 本題考查圓周角定理、全等三角形的判定與性質、勾股定理，解答此類問題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用三角形全等和勾股定理解答．