Question

3．某企業某年年初建廠生產某種產品，其年產量為y件，每件產品的利潤為2200元，建廠年數為x，y與x的函數關系式為y=-2x²+40x+50．由于設備老化，從2011年起，年產量開始下滑．若該企業2012年投入100萬元用于更換所有設備，則預計當年可生產產品122件，且以后每年都比上一年增產14件．
（1）若更換設備后，至少幾年可收回投入成本？
（2）試寫出更換設備后，年產量Q件與企業建廠年數x的函數關系式；并求出，到哪一年年產量可超過假定設備沒有更換的年產量？

Answer 1

分析 （1）確定設備更新后第n年的利潤，組成等差數列，求出n年的總利潤，根據當總利潤超過100萬元時可收回投入成本，建立不等式，即可求得結論；
（2）求出當建廠10年時產量最大，年產量Q件與企業建廠年數x的函數關系式為Q=122+14[（x-10）-1]=14x-32，（x＞10），根據當Q≥250，可得結論．

解答 解：（1）設至少n年可收回投入成本，則：
設備更新后第一年的產量=122，設備更新后第一年的利潤L₁=122×2200
設備更新后第二年的產量=122+14×1，設備更新后第二年的利潤L₂=（122+14×1）×2200
…
設備更新后第n年的產量Q=122+14（n-1），設備更新后第n年的利潤L_n=[122+14（n-1）]×2200
∴n年的總利潤L=L₁+L₂+L₃+…+L_n
=2200[122+（122+14）+（122+14×2）+…+122+14（n-1）]
=2200[122n+7n（n-1）]
=2200（7n²+115n）
∵當總利潤超過100萬元時可收回投入成本
∴2200（7n²+115n）≥1000000
∴77n²+1265n-5000≥0
解得n≥3.29或n≤-19.38（舍去）
∵年數取整數，∴n=4
∴至少4年可收回投入成本；
（2）y=-2x²+40x+50=-2（x-10）²+250
∴當建廠10年時產量最大，y_max=250
∴更換設備后，年產量Q件與企業建廠年數x的函數關系式為Q=122+14[（x-10）-1]=14x-32，（x＞10）
當Q≥250時有：14x-32≥250，
解得x≥20.14≈20，
∴約建廠20年的時候產量超過設備沒有更換的年產量．

點評 本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用．最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值）．