Question

11．如圖，兩個形狀，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如圖①放置，PA，PB與直線MN重合，且三角板PAC與三角板PBD均可繞點P逆時針旋轉．
（1）試說明：∠DPC=90°；
（2）如圖②，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉一定度數，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如圖③，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為3°/s．同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為2°/s，在兩個三角板旋轉過程中（PC轉到與PM重合時，三角板都停止轉運），問$\frac{∠CPD}{∠BPN}$的值是否變化？若不變，求出其值，若變化，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用含有30゜、60゜的三角板得出∠DPC=180°-∠CPA-∠DPB，進而求出即可；
（2）設∠CPE=∠DPE=x，∠CPF=y，則∠APF=∠DPF=2x+y，進而利用∠CPA=60゜求出即可；
（3）首先得出值不變，設運動時間為t秒，則∠BPM=2t，表示出∠CPD和∠BPN的度數即可得出答案．

解答 解：（1）∵∠DPC=180°-∠CPA-∠DPB，∠CPA=60°，∠DPB=30°，
∴∠DPC=180゜-30゜-60゜=90゜；
（2）設∠CPE=∠DPE=x，∠CPF=y，
則∠APF=∠DPF=2x+y，
∵∠CPA=60゜，
∴y+2x+y=60゜，
∴x+y=30゜
∴∠EPF=x+y=30゜
（3）不變．
設運動時間為t秒，則∠BPM=2t，
∴∠BPN=180-2t，∠DPM=30-2t，∠APN=3t．
∴∠CPD=180-∠DPM-∠CPA-∠APN=90-t，
∴$\frac{∠CPD}{∠BPN}$=$\frac{90-t}{180-2t}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了角的計算，利用數形結合得出等式是解題關鍵，還要理清角之間的關系．