Question

6．如圖，平面直角坐標系中，已知點P（2，2），C為y軸正半軸上一點，連接PC，線段PC繞點P順時針旋轉90°至線段PD，過點D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線OP交于點A，且BD=4AD，直線CD與直線OP交于點Q，則點Q的坐標為（$\frac{25}{6}$，$\frac{25}{6}$）．

Answer 1

分析 過點P作PE⊥OC于E，EP的延長線交AB于F．首先證明△CPE≌△PDF，得到DF=PE=2，推出BD=BF+DF=4，由BD=4AD，推出AD=1，AB=OB=5，CE=PF=3，D（5，4），C（0，5），利用待定系數法求出直線CD的解析式，利用方程組即可求出點Q的坐標．

解答 解：過點P作PE⊥OC于E，EP的延長線交AB于F．

∵AB⊥OB，
∴∠OBF=∠EOB=∠FEO=90°，
∴四邊形EOBF是矩形，
∵P（2，2），
∴OE=PE=BF=2，
∵∠CPD=90°，
∴∠CPE+∠DPF=90°，∠ECP+∠CPE=90°，
∴∠ECP=∠DPF，
在△CPE和△PDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEC=∠PFD}\\{∠PCE=∠DPF}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴△CPE≌△PDF，
∴DF=PE=2，
∴BD=BF+DF=4，
∵BD=4AD，
∴AD=1，AB=OB=5，
∴CE=PF=3，
∴D（5，4），C（0，5），
設直線CD的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{5k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{5}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=-$\frac{1}{5}$x+5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{5}x+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{6}}\\{y=\frac{25}{6}}\end{array}\right.$，
∴點Q的坐標為（$\frac{25}{6}$，$\frac{25}{6}$）．
故答案為（$\frac{25}{6}$，$\frac{25}{6}$）．

點評 本題考查一次函數的應用、待定系數法、全等三角形的判定和性質、二元一次方程組等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會構建一次函數，利用方程組求交點坐標，屬于中考填空題中的壓軸題．