Question

（本題滿分14分）如圖①，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，二次函數的圖象記為拋物線．

（1）平移拋物線，使平移后的拋物線過兩點，記為拋物線，如圖②，求拋物線的函數表達式．

（2）請在圖②上用尺規作圖的方式探究拋物線上是否存在點，使為等腰三角形．若存在，請判斷點共有幾個可能的位置（保留作圖痕跡）并在圖中畫出P點，以P1、P2、P3、、、表示不同的點；若不存在，請說明理由．

（3）設拋物線的頂點為，為拋物線一點．若，求點的坐標．

 

Answer 1

（1） （2）5個 （3）（3,2）

【解析】

試題分析：（1）可設出平移后的二次函數的解析式，然后將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得l2的函數表達式．

（2）應有三點：①以A為圓心，AB為半徑作弧可交拋物線l2于一點；②以B為圓心，AB為半徑坐標交拋物線于另一點；③作線段AB的垂直平分線可交拋物線于兩點，因此共有5個符合條件的P點．

（3）第一種情況：根據函數的對稱性可以求出K點.

第二種情況：本題可通過求三角形的面積來求K的坐標．由于三角形ABC的面積無法直接求出，因此可其轉換成其他規則圖形面積的和差來解．分別過A、B、C三點作x軸的垂線，因此△ABC的面積可用三個直角梯形的面積差來求出．設出K的坐標，利用上面面積求法求出K的坐標.

試題解析：（1） 設拋物線l2的函數表達式為，

把A，B代入得

解之得b=-4，c=5

所以的解析式為.

（2） 由題意可做圖為

由圖可以直接看出共5個點.

（3）第一種情況：因為，所以可求出頂點C的坐標為（2,1），根據二次函數的對稱性可以知當K點和A點對稱時兩個三角形的面積相等，由對稱軸x=2可求得K點的橫坐標為3，所以K的坐標為（3,2）.

第二種情況：

由函數的解析式可求出C的坐標（2,1），然后過ABC作垂線（如圖），利用梯形的面積差可以求出=3，設K點為（x，y），同理可用面積法求出K點的坐標為和，所以有三種情況，分別為（3,2）.

考點：二次函數的圖像和性質，梯形的面積，基本作圖