Question

9．趙爽弦圖是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，若這四個全等直角三角形的兩條直角邊分別平行于x軸和y軸，大正方形的頂點B₁、C₁、C₂、C₃、…、C_n在直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$上，頂點D₁、D₂、D₃、…、D_n在x軸上，則第n個陰影小正方形的面積為$（{\frac{2}{3}）}^{2n-2}$．

Answer 1

分析 設(shè)第n個大正方形的邊長為a_n，則第n個陰影小正方形的邊長為$\frac{\sqrt{5}}{5}$a_n，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$與y軸的交點坐標(biāo)，進而即可求出a₁的值，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出a_n=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$a₁=$\sqrt{5}$$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，結(jié)合正方形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)第n個大正方形的邊長為a_n，則第n個陰影小正方形的邊長為$\frac{\sqrt{5}}{5}$a_n，
當(dāng)x=0時，y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴$\frac{7}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a₁+$\frac{\sqrt{5}}{2}$a₁，
∴a₁=$\sqrt{5}$．
∵a₁=a₂+$\frac{1}{2}$a₂，
∴a₂=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，
同理可得：a₃=$\frac{2}{3}$a₂，a₄=$\frac{2}{3}$a₃，a₅=$\frac{2}{3}$a₄，…，
∴a_n=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$a₁=$\sqrt{5}$$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴第n個陰影小正方形的面積為$（\frac{\sqrt{5}}{5}{a}_{n}）^{2}$=$[（\frac{2}{3}）^{n-1}]^{2}$=$（\frac{2}{3}）^{2n-2}$．
故答案為：$（\frac{2}{3}）^{2n-2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及正方形的面積，找出第n個大正方形的邊長為a_n=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$a₁=$\sqrt{5}$$（\frac{2}{3}）^{n-1}$是解題的關(guān)鍵．