Question

9．如圖，在平面直角坐標系內，已知點A（0，6），點B（8，0），AB=10．動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當t為何值時，△APQ與△AOB相似，并求出此時點P與點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）運用待定系數法求出直線AB的解析式即可；
（2）分△APQ∽△AOB和△APQ∽△AOB兩種情況，根據相似三角形的性質定理、結合圖形計算即可．

解答 解：（1）設直線AB的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$．
故直線AB的解析式為：y=-$\frac{3}{4}$x+6；
（2）當△APQ∽△AOB，
則$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得t=$\frac{30}{11}$，
∴OP=6-$\frac{30}{11}$=$\frac{36}{11}$，
則點P的坐標為：（0，$\frac{36}{11}$），
∵△APQ∽△AOB，
∴$\frac{AP}{AO}$=$\frac{PQ}{OB}$，即$\frac{\frac{30}{11}}{6}$=$\frac{PQ}{8}$，
解得PQ=$\frac{40}{11}$，
則點Q的坐標為：（$\frac{40}{11}$，$\frac{36}{11}$）；
當△APQ∽△ABO，
則$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，
解得，t=$\frac{50}{13}$，
∴OP=6-$\frac{50}{13}$=$\frac{28}{13}$，
則點P的坐標為：（0，$\frac{28}{13}$），
作QE⊥OB于E，QF⊥OA于F，
則$\frac{QE}{OA}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{QE}{6}$=$\frac{\frac{100}{13}}{10}$，
解得，QE=$\frac{60}{13}$，
$\frac{QF}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{QF}{8}$=$\frac{\frac{30}{13}}{10}$，
解得，QF=$\frac{24}{13}$，
∴點Q的坐標為：（$\frac{24}{13}$，$\frac{60}{13}$）．

點評 本題考查的是一次函數的應用、相似三角形的判定和性質以及坐標與圖形的關系，掌握待定系數法求一次函數解析式、相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵，注意分情況討論思想的應用．