Question

13．定義：長寬比為$\sqrt{n}$：1（n為正整數）的矩形稱為$\sqrt{n}$矩形．下面，我們通過折疊的方式折出一個$\sqrt{2}$矩形，如圖①所示
操作1：將正方形ABCD沿過點B的直線折疊，使折疊后的點C落在對角線BD上的點G處，折痕為BH．
操作2：將AD沿過點G的直線折疊，使點A，點D分別落在邊AB，CD上，折痕為EF．
可以證明四邊形BCEF為$\sqrt{2}$矩形．
（Ⅰ）在圖①中，$\frac{AD}{FG}$的值為$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）已知四邊形BCEF為$\sqrt{2}$矩形，仿照上述操作，得到四邊形BCMN，如圖②，可以證明四邊形BCMN為$\sqrt{n}$矩形，則n的值是3．

Answer 1

分析 （1）設正方形ABCD的邊長為1，則BD=$\sqrt{2}$，由折疊性質可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，則四邊形BCEF為矩形，得出EF∥AD，由平行線分線段成比例得出$\frac{BG}{BD}$=$\frac{BF}{AB}$，求出BF=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，則BC：BF=1：$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$：1，即四邊形BCEF為$\sqrt{2}$矩形；
（2）（Ⅰ）在Rt△BFG中，由勾股定理得：FG=$\sqrt{B{G}^{2}-B{F}^{2}}$，即可解得$\frac{AD}{FG}$；
（Ⅱ）由勾股定理解得BE=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$，由折疊可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°，證得四邊形BCMN是矩形，得出MN∥EF，由平行線分線段成比例得出$\frac{BP}{BE}$=$\frac{BN}{BF}$，求得BN=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，則BC：BN=1：$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$：1，即四邊形BCMN是$\sqrt{3}$的矩形，即可得出結果．

解答 （1）證明：設正方形ABCD的邊長為1，則BD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由折疊性質可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，則四邊形BCEF為矩形，
∴∠A=∠BFE，
∴EF∥AD，
∴$\frac{BG}{BD}$=$\frac{BF}{AB}$，即：$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{BF}{1}$，
∴BF=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴BC：BF=1：$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$：1，
∴四邊形BCEF為$\sqrt{2}$矩形；
（2）解：（Ⅰ）在Rt△BFG中，由勾股定理得：FG=$\sqrt{B{G}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AD}{FG}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）∵BC=1，EC=BF=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴BE=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由折疊可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．
∵四邊形BCEF是矩形，
∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，
∴四邊形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，
∴MN∥EF，
∴$\frac{BP}{BE}$=$\frac{BN}{BF}$，即BP•BF=BE•BN，
∴1×$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$BN，
∴BN=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴BC：BN=1：$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$：1，
∴四邊形BCMN是$\sqrt{3}$的矩形，
∴n=3．
故答案為：$\sqrt{2}$；3．

點評 本題主要考查了折疊的性質、正方形的性質、矩形的判定與性質、平行線分線段成比例、勾股定理等知識；熟練掌握折疊的性質是解決問題的關鍵．