Question

6．如圖1，拋物線y=-x²+（k-1）x+k（k＞0）與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)D在第一象限，并且拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，DE=4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)P是第一象限拋物線上的點(diǎn)，連接AP，與對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，PH⊥DE，垂足為H，設(shè)PH=m，DQ=d，求出d與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，連接AD、AF，AP平分∠DAF，連接DP、BQ，當(dāng)DP∥BQ時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定點(diǎn)的坐標(biāo)等于DE，可得關(guān)于k的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（2）根據(jù)對(duì)稱軸公式，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)，可得PH與KE的關(guān)系，根據(jù)同一個(gè)角的正切值，可得QE，根據(jù)線段的和差，可得答案；
（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A，B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠PDH=∠BQE，根據(jù)等角的正切值相等，可得m的值，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得DP與PM的關(guān)系，根據(jù)終點(diǎn)坐標(biāo)，可得M的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AM，跟解方程組，可得答案．

解答 解：（1）∵D為拋物線的頂點(diǎn)，DE=4，
∴$\frac{4×（-1）k-（k-1）^{2}}{4×（-1）}$=4，
解得k₁=3，k₂=-5（舍），
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+2x+3；
（2）解：對(duì)稱軸為x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
設(shè)P[1+m，-（1+m²）+2（1+m）+3]，
如圖1，過P作PK⊥x軸于點(diǎn)K，
∵對(duì)稱軸與x軸交于E點(diǎn)，
∴DE⊥x軸，又∵PH⊥DE，
∴∠DEB=∠PKO=∠PHQ=90°，
∴四邊形PHEK是矩形，
∴PH=KE=m，
∵tan∠PAK=$\frac{PK}{AK}$=$\frac{QE}{AE}$，
∴$\frac{-（1+m）^{2}+2（1+m）+3}{（1+m）-（-1）}$=$\frac{QE}{1-（-1）}$
∴QE=-2m+4，
∴d=DQ=DE-QE=4-（-2m+4）=2m；
（3）解：當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）．
∵DP∥BQ，
∴∠PDH=∠BQE，
tan∠PDH=tan∠BQE，$\frac{PH}{DH}$=$\frac{BE}{QE}$，
∴$\frac{m}{4-[-（1+m）^{2}+2（1+m）+3}$=$\frac{2}{-2m+4}$，
∴m₁=0舍），m₂=1，P（2，3）．
由勾股定理，得
AD=2$\sqrt{5}$，DP=$\sqrt{2}$，PA=3$\sqrt{2}$．
∵AD²=DP²+AP²，
∴∠APD=90°．
如圖2，延長(zhǎng)DP交射線AF于點(diǎn)M，
在△ADP和△AMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAP=∠MAP}\\{AP=AP}\\{∠ADP=∠AMP}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△AMP（ASA），
∴PD=PM．
∵D（1，4），P（2，3），
∴M（3，2）．
由A，M點(diǎn)，得
AM的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$
聯(lián)立AM與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{5}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（舍），
F點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用DE的長(zhǎng)得出k值是求函數(shù)解析式的關(guān)鍵；（2）利用了矩形的判定與性質(zhì)，利用正切值相等得出QE是解題關(guān)鍵；（3）利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出PD=PM是解題關(guān)鍵，又利用方程組得出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．