Question

14．已知點A（1，3）、B（3，-1），點M在x軸上，當AM-BM最大時，點M的坐標為（　　）

• A． （2，0）
• B． （2.5，0）
• C． （4，0）
• D． （4.5，0）

Answer 1

分析 作點B關于x軸的對稱點B′，連接AB′并延長與x軸的交點，即為所求的M點．利用待定系數法求出直線AB′的解析式，然后求出其與x軸交點的坐標，即M點的坐標．

解答 解：如圖，作點B關于x軸的對稱點B′，連接AB′并延長與x軸的交點，即為所求的M點．此時AM-BM=AM-B′M=AB′．
不妨在x軸上任取一個另一點M′，連接M′A、M′B、M′B′．
則M′A-M′B=M′A-M′B′＜AB′（三角形兩邊之差小于第三邊）．
∴M′A-M′B＜AM-BM，即此時AM-BM最大．
∵B′是B（3，-1）關于x軸的對稱點，
∴B′（3，1）．
設直線AB′解析式為y=kx+b，把A（1，3）和B′（3，1）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=3}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB′解析式為y=-x+4．
令y=0，解得x=4，
∴M點坐標為（4，0）．
故選：C．

點評 本題考查了軸對稱--最短路線問題、坐標與圖形性質．解題時可能感覺無從下手，主要原因是平時習慣了線段之和最小的問題，突然碰到線段之差最大的問題感覺一籌莫展．其實兩類問題本質上是相通的，前者是通過對稱轉化為“兩點之間線段最短”問題，而后者（本題）是通過對稱轉化為“三角形兩邊之差小于第三邊”問題．可見學習知識要活學活用，靈活變通．