Question

12．如圖，已知AB為⊙O的直徑，點E在⊙O上，∠EAB的平分線交⊙O于點C，過點C作AE的垂線，垂足為D，直線DC與AB的延長線交于點P．
（1）判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若tan∠P=$\frac{3}{4}$，AD=6，求線段AE的長．

Answer 1

分析 （1）結論：PC是⊙O的切線．只要證明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．
（2）由OC∥AD，推出$\frac{OC}{AD}$=$\frac{OP}{AP}$，即$\frac{r}{6}$=$\frac{10-r}{10}$，解得r=$\frac{15}{4}$，由BE∥PD，AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P，由此即可計算．

解答 解：（1）結論：PC是⊙O的切線．
理由：連接OC．
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠CAB，
又∵∠CAB=∠ACO，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥PD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴PC是⊙O的切線．

（2）連接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=$\frac{3}{4}$，
∴PD=8，AP=10，設半徑為r，
∵OC∥AD，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{OP}{AP}$，即$\frac{r}{6}$=$\frac{10-r}{10}$，
解得r=$\frac{15}{4}$，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=∠D=90°，
∴BE∥PD，
∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=$\frac{15}{4}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系、切線的判定、解直角三角形、平行線的性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．