Question

2．如圖，點A、B、C、D在⊙O上，且$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，E是AB延長線上一點，且BE=AB，F是EC的中點．
（1）探索BF與BD之間的數量關系，并說明理由；
（2）設G是BD的中點，在⊙O上是否存在點P（點B除外），使得PG=PF？試證明．

Answer 1

分析 （1）先判斷出BF是△EAC的中位線，得到BF=$\frac{1}{2}$AC，再判斷出BD=AC，即可得出結論；
（2）方法1、先判斷出BG=BF，再判斷出∠PBG=∠PBF，進而得出△PBG≌△PBF，即可得出結論．
方法2、作∠DBF的平分線交圓于P，再判斷出BG=BF，即可得出△PBG≌△PBF，即可得出結論．

解答 解：（1）BF=$\frac{1}{2}$BD，
理由：如圖1，連接AC，
∵F是EC的中點，
∴CF=EF，
∵BE=AB，
∴BF是△EAC的中位線，
∴BF=$\frac{1}{2}$AC，
∵$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，
∴$\widehat{BD}=\widehat{AC}$，
∴BD=AC，
∴BF=$\frac{1}{2}$BD；

（2）⊙O上存在點P，使PG=PF，
方法1、理由：如圖2，過點B作BP⊥AE交⊙O于點P，連接PG，PF，AC，
由（1）知BF=$\frac{1}{2}$BD，
∵G是BD的中點，
∴BG=$\frac{1}{2}$BD，
∴BG=BF，
∵$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，
∴∠BAC=∠ABD，
∵∠BAC=∠EBF，
∴∠EBF=∠ABD，
∵BP⊥AE，
∴∠ABP=∠EBP=90°，
∴∠PBG=∠PBF，
在△PBG和△PBF中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PB}\\{∠PBG=∠PBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△PBG≌△PBF（SAS），
∴PG=PF，
即存在滿足條件的點P．

方法2、如圖2，作∠DBF的平分線交⊙O于點P，連接PG，PF，
∴∠PBG=∠PBF，
由（1）知BF=$\frac{1}{2}$BD，
∵G是BD的中點，
∴BG=$\frac{1}{2}$BD，
∴BG=BF，
在△PBG和△PBF中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PB}\\{∠PBG=∠PBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△PBG≌△PBF（SAS），
∴PG=PF，
即存在滿足條件的點P．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，同圓中等弧所對的弦相等，等弧所對的圓周角相等，全等三角形的判定和性質，解（1）的關鍵是得出BF=$\frac{1}{2}$AC，解（2）的關鍵是判斷出∠PBG=∠PBF，是一道中等難度的題目．