Question

4．如圖，已知直角坐標系中一條圓弧經過正方形網格的格點A、B、C．
（1）用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心M的位置并寫出點M的坐標；
（2）若A點的坐標為（0，4），D點的坐標為（7，0），求證直線CD是⊙M的切線．

Answer 1

分析 （1）作AB和BC的垂直平分線，兩線交于一點M，點M即為所求，由圖形可知：這點的坐標是（2，0）；
（2）設過C點與x軸垂直的直線與x軸的交點為E，連結MC，作直線CD．得出CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，根據勾股定理求出MC²=20，CD²=5，推出∠MCD=90°，根據切線的判定推出即可．

解答 解：（1）如圖1，連接AB、BC，
作AB和BC的垂直平分線，兩線交于一點M，點M即為所求，
由圖形可知：這點的坐標是（2，0），
∴圓弧所在圓的圓心M點的坐標是（2，0）；

（2）由A（0，4），可得小正方形的邊長為1，從而可得B（4，4）、C（6，2），
如圖2，設過C點與x軸垂直的直線與x軸的交點為E，連結MC，作直線CD．
∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，
在Rt△CEM中，∠CEM=90°，
∴MC²=ME²+CE²=4²+2²=20，
在Rt△CED中，∠CED=90°，
∴CD²=ED²+CE²=1²+2²=5，
∴MD²=MC²+CD²，
∴∠MCE=90°，
∵MC為半徑，
∴直線CD是⊙M的切線．

點評 本題考查了勾股定理，切線的判定等，在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．