Question

11．音樂噴泉（圖1）可以使噴水造型隨音樂的節奏起伏變化而變化．某種音樂噴泉形狀如拋物線，設其出水口為原點，出水口離岸邊18m，音樂變化時，拋物線的頂點在直線y=kx上變動，從而產生一組不同的拋物線（圖2），這組拋物線的統一形式為y=ax²+bx．
（1）若已知k=1，且噴出的拋物線水線最大高度達3m，求此時a、b的值；
（2）若k=1，噴出的水恰好達到岸邊，則此時噴出的拋物線水線最大高度是多少米？
（3）若k=3，a=-$\frac{2}{7}$，則噴出的拋物線水線能否達到岸邊？

Answer 1

分析 （1）根據拋物線的頂點在直線y=kx上，拋物線為y=ax²+bx，k=1，且噴出的拋物線水線最大高度達3m，可以求得a，b的值；
（2）根據k=1，噴出的水恰好達到岸邊，拋物線的頂點在直線y=kx上，可以求得拋物線的對稱軸x的值，從而可以得到此時噴出的拋物線水線最大高度；
（3）根據k=3，a=-$\frac{2}{7}$，拋物線的頂點在直線y=kx上，拋物線為y=ax²+bx，可以求得b的值，然后令y=0代入拋物線的解析式，求得x的值，然后與18作比較即可解答本題．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx的頂點為（-$\frac{b}{2a}，\frac{-{b}^{2}}{4a}$），拋物線的頂點在直線y=kx上，k=1，拋物線水線最大高度達3m，
∴$-\frac{b}{2a}=\frac{-{b}^{2}}{4a}$，$\frac{-{b}^{2}}{4a}=3$，
解得，a=$-\frac{1}{3}$，b=2，
即k=1，且噴出的拋物線水線最大高度達3m，此時a、b的值分別是$-\frac{1}{3}，2$；
（2）∵k=1，噴出的水恰好達到岸邊，出水口離岸邊18m，拋物線的頂點在直線y=kx上，
∴此時拋物線的對稱軸為x=9，y=x=9，
即此時噴出的拋物線水線最大高度是9米；
（3）∵y=ax²+bx的頂點為（-$\frac{b}{2a}，\frac{-{b}^{2}}{4a}$）在直線y=3x上，a=-$\frac{2}{7}$，
∴$-\frac{b}{2a}×3=\frac{-{b}^{2}}{4a}$，
解得，b=6，
∴拋物線y=$-\frac{2}{7}{x}^{2}+6x$，
當y=0時，0=$-\frac{2}{7}{x}^{2}+6x$，
解得，x₁=21，x₂=0，
∵21＞18，
∴若k=3，a=-$\frac{2}{7}$，則噴出的拋物線水線能達到岸邊，
即若k=3，a=-$\frac{2}{7}$，噴出的拋物線水線能達到岸邊．

點評 本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是明確題意，根據題目給出的信息列出相應的關系式，找出所求問題需要的條件．