Question

19．如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=8，點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，若點D的對應點D′，連接D′B，以下結論中：
①D′B的最小值為3；
②當DE=$\frac{5}{2}$時，△ABD′是等腰三角形；
③當DE=2是，△ABD′是直角三角形；
④△ABD′不可能是等腰直角三角形；
其中正確的有①②④．（填上你認為正確結論的序號）

Answer 1

分析 解：當D′落在線段AB上時，D′B的值最小，此時D′B=AB-AD=3，得出①正確；
過D′作MN⊥AB交AB于點N，交CD于點M，設AN=x，則EM=x-2.5，證出∠ED′M=∠D′AN，因此△EMD′∽△D′NA，得出對應邊成比例$\frac{ED′}{AD′}$=$\frac{EM}{D′N}$，求出x=4，得出AN=BN，因此AD′=D′B，得出②正確；
當DE=2時，假設△ABD′是直角三角形，則E、D′、B在一條直線上，作EF⊥AB于點F，由勾股定理求出D′B、EB，得出③不正確；
當AD′=D′B時，由勾股定理的逆定理得出△ABD′不是直角三角形，當△ABD′是直角三角形時，由勾股定理求出D′B，得出AD′≠D′B，因此△ABD′不可能是等腰直角三角形，得出④正確．

解答 解：當D′落在線段AB上時，D′B的值最小，如圖1所示：
此時D′B=AB-AD=8-5=3，
∴①正確；
過D′作MN⊥AB交AB于點N，交CD于點M，如圖2所示：
設AN=x，則EM=x-2.5，
∵∠AD′N=∠DAD′，∠ED′M=180°-∠AD′E-∠AD′N=180°-90°-∠AD′N=90°-∠AD′N，
∴∠ED′M=90°-∠DAD′，
∵∠D′AN=90°-∠DAD′，
∴∠ED′M=∠D′AN，
∵MN⊥AB，
∴∠EMD′=∠AND′，
∴△EMD′∽△D′NA，
∴$\frac{ED′}{AD′}$=$\frac{EM}{D′N}$，
即$\frac{2.5}{5}$=$\frac{x-2.5}{\sqrt{{5}^{2}-{x}^{2}}}$，
解得：x=4，
∴AN=BN，
∴AD′=D′B，
即△ABD′是等腰三角形，
∴②正確；
當DE=2時，假設△ABD′是直角三角形，
則E、D′、B在一條直線上，
作EF⊥AB于點F，如圖3所示：
D′B=$\sqrt{A{B}^{2}-D′{A}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{5}^{2}}$=$\sqrt{39}$，EB=$\sqrt{E{F}^{2}+F{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（8-2）^{2}}$=$\sqrt{61}$，
∵2+$\sqrt{39}$≠$\sqrt{61}$，
∴③不正確；
當AD′=D′B時，5²+5²≠8²，
∴△ABD′不是直角三角形，
當△ABD′是直角三角形時，D′B=$\sqrt{A{B}^{2}-D′{A}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{5}^{2}}$=$\sqrt{39}$，
∴AD′≠D′B，
∴△ABD′不可能是等腰直角三角形，
∴④正確；
故答案為：①②④．

點評 本題考查了矩形的性質、翻折變換的性質、勾股定理、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握矩形的性質和翻折變換的性質是解決問題的關鍵．