Question

9．為了節省材料，某水產養殖戶利用水庫的岸堤為一邊，用總長為a米（a為大于21的常數）的圍網在水庫中圍成了如圖所示的①②兩塊矩形區域．已知岸堤的可用長度不超過21米．設AB的長為x米，矩形區域ABCD的面積為y平方米
（1）求y與x之間的函數關系，并直接寫出自變量x的取值范圍（用含a的式子表示）．
（2）若a=30，求y的最大值，并求出此時x的值．
（3）若a=48，請求出y的最大值．

Answer 1

分析 （1）設AB的長為x米，則BC的長為（a-3x）米，根據矩形民機公式可得函數解析式，由0＜BC≤21可得x的范圍；
（2）將a=30代入解析式配方成頂點式，結合x的范圍可得最值；
（3）將a=48代入解析式配方成頂點式，結合x的范圍可得最值．

解答 解：（1）設AB的長為x米，則BC的長為（a-3x）米，
根據題意得：y=x（a-3x）=-3x²+ax，
由a-3x≤21可得x≥$\frac{a-21}{3}$，
由a-3x＞0得x＜$\frac{a}{3}$，
∴$\frac{a-21}{3}$≤x＜$\frac{a}{3}$；

（2）當a=30時，y=-3x²+30x=-3（x-5）²+75，
∵3≤x＜10，
∴當x=5時，y取得最大值為75；

（3）當a=48時，y=-3x²+48x=-3（x-8）²+192，
∴當x=8時，y取得最大值為192．

點評 本題主要考查二次函數的應用，根據矩形面積公式得出函數解析式，利用二次函數的頂點式，結合二次函數的性質得出其最值情況是解題的關鍵．