Question

12．如圖，四邊形ABCD中，已知AB=CD，點E、F分別為AD、BC的中點，延長BA、CD，分別交射線FE于P、Q兩點．求證：∠BPF=∠CQF．

Answer 1

分析 如圖，連接BD，作BD的中點M，連接FM、EM．利用三角形中位線定理證得△EMF是等腰三角形，則∠MEF=∠MFE．利用三角形中位線定理、平行線的性質推知∠MEF=∠P，∠MFE=∠CQF．根據等量代換證得∠P=∠CQF．

解答 證明：如圖，連接BD，作BD的中點M，連接EM、FM．
∵點E是AD的中點，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠MEF=∠P
同理可證：FM∥CD，FM=$\frac{1}{2}$CD．
∴∠MFQ=∠CQF，
又∵AB=CD，
∴EM=FM，
∴∠MEF=∠MFE，
∴∠P=∠CQF．．

點評 此題考查的是三角形中位線的性質、等腰三角形判定和性質等知識，解題的關鍵是題目中出現中點的條件想到添加三角形的中位線作為輔助線，屬于中考常考題型．