Question

14．如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°．將△ABC繞點C逆時針旋轉得到△A′B′C，旋轉角為α，且0°＜α＜180°．在旋轉過程中，點B′可以恰好落在AB的中點處，如圖②．

（1）求∠A的度數；
（2）當點C到AA′的距離等于AC的一半時，求α的度數．

Answer 1

分析 （1）利用旋轉的性質結合直角三角形的性質得出△CBB′是等邊三角形，進而得出答案；
（2）利用銳角三角函數關系得出sin∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，即可得出∠CAD=30°，進而得出α的度數．

解答 解：（1）將△ABC繞點C逆時針旋轉得到△A′B′C，旋轉角為α，
∴CB=CB′
∵點B′可以恰好落在AB的中點處，
∴點B′是AB的中點．
∵∠ACB=90°，
∴CB′=$\frac{1}{2}$AB=BB′，
∴CB=CB′=BB′，
即△CBB′是等邊三角形．
∴∠B=60°．
∵∠ACB=90°，
∴∠A=30°；
（2）如圖，過點C作CD⊥AA′于點D，
點C到AA′的距離等于AC的一半，即CD=$\frac{1}{2}$AC．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，sin∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CAD=30°，
∵CA=CA′，
∴∠A′=∠CAD=30°．
∴∠ACA′=120°，即α=120°．

點評 本題主要考查旋轉的性質以及等邊三角形的判定等知識，正確掌握直角三角形的性質是解題關鍵．