Question

1．現有一根長為1的鐵絲．如圖，

①若把它圍成圖1所示的矩形框，當矩形框的長a與矩形框的寬b滿足$\frac{a}$=1時所圍成的矩形框面積最大；
②若把它圍成圖2所示的矩形框，當矩形框的長a與矩形框的寬b滿足$\frac{a}$=$\frac{3}{2}$時所圍成的矩形框面積最大；
③若把它圍成圖n所示的矩形框（圖中共有n+1條寬），當矩形框的長a與矩形框的寬b滿足$\frac{a}$=$\frac{n+1}{2}$時所圍成的矩形框面積最大．

Answer 1

分析 （1）根據長度為1，可得出a與b的關系式，然后可表示出圖1的面積，利用正方形面積最大求出即可；
（2）根據長度為1，可得出a與b的關系式，然后可表示出圖2的面積，利用配方法求最值即可；
（3）利用（2）中所求方法即可得出答案．

解答 解：根據題意：①中有2（a+b）=1，且s=ab的最大值當且僅當矩形為正方形時，即a=b時所圍成的矩形框面積最大，即$\frac{a}$=1．
故答案為：1；

②有2個a，有3個b，則2a+3b=1，故b=$\frac{1-2a}{3}$，當且僅當矩形為正方形時，s=ab=$\frac{-2{a}^{2}+a}{3}$=-$\frac{2}{3}$（a-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{24}$，
則b=$\frac{1}{6}$，故$\frac{a}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{6}}$=$\frac{3}{2}$時S取得最大值．
故答案為：$\frac{3}{2}$；

③如圖，有2個a，有（n+1）個b，故當且僅當矩形為正方形時，即（n+1）b=2a時，s=ab取得最大值，即$\frac{a}$=$\frac{n+1}{2}$．
故答案為：$\frac{n+1}{2}$．

點評 本題考查了二次函數的應用，解答本題的關鍵是根據鐵絲長度為1得出a與b的關系式，注意掌握配方法求函數的最值，難度一般．