Question

6．如圖，平行四邊形ABCD中，∠ACB=30°，將△ABC沿AC折疊，使得點B落在平行四邊形ABCD所在的平面的點E處，則$\frac{AC+DE}{AD}$=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由折疊的性質得出△ABC≌△AEC，由SSS證出△ABC≌△ACD，得出△AEC≌△ACD，因此∠ACE=∠CAD=∠ACB=30°，AD=CE，AE=CD，AD與EC夾的鈍角為120°，證出AC∥ED，得出四邊形ACDE為等腰梯形，過點A作AF∥AE交DE延長線于F，則四邊形ACEF為平行四邊形，得出∠DAF=120°，AF=AD，作AM⊥DE交于M，則DM=FM，∠ADM=30°，由含30°角的直角三角形的性質得出AD=2AM，DM=$\sqrt{3}$AM，DF=2DM=2$\sqrt{3}$AM，即可得出結果．

解答 解：∵△ABC沿AC折疊，使得點B落在平行四邊形ABCD所在的平面的點E處，
∴△ABC≌△AEC，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BC=AD，AB=CD，
在△ABC和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BC=AD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ACD（SSS），
∴△AEC≌△ACD，
∴∠ACE=∠CAD=∠ACB=30°，AD=CE，AE=CD，AD與EC夾的鈍角為120°，
∴過E、D點作AC邊上的高則相等，
∴AC∥ED，
∴四邊形ACDE為等腰梯形，
過點A作AF∥AE交DE延長線于F，
則四邊形ACEF為平行四邊形，
∴AC=EF，AF=CE，∠DAF=120°，
∴AF=AD，
作AM⊥DE交于M，
則DM=FM，∠ADM=30°，
∴AD=2AM，DM=$\sqrt{3}$AM，
∴DF=2DM=2$\sqrt{3}$AM，
∴$\frac{AC+DE}{AD}$=$\frac{EF+DE}{AD}$=$\frac{2\sqrt{3}AM}{2AM}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了翻折變換的性質、平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、等腰梯形的判定與性質等知識；本題綜合性強，有一定難度．