Question

1．如圖，等腰直角△ACE，AC=AE=4$\sqrt{2}$，∠CAE=90°，點(diǎn)B是CE上一點(diǎn)，以AB為邊向外作正方形ABMN，連接NE交BD于點(diǎn)D．
（1）求證：NE⊥CE；
（2）若BE=2，求ED的長度．

Answer 1

分析 （1）連接BN，由∠CAE=∠BAN=90°，得到∠CAB=∠EAN，推出△ACB≌△AEN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠AEN=45°=∠AEC，即可得到結(jié)論；
（2）過A作AK⊥CE于K，由△ACE是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得到CE=8，于是得到AK=CK=KE=4，KB=BE=2，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠KAB=∠DBE，推出△AKB∽△BED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）連接BN，∵∠CAE=∠BAN=90°，
∴∠CAB=∠EAN，
在△ACB與△AEN中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAB=∠EAN}\\{AB=AN}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△AEN，
∴∠ACB=∠AEN=45°=∠AEC，
∴∠CEN=90°，
∴CE⊥NE；

（2）過A作AK⊥CE于K，
∵△ACE是等腰直角三角形，AC=AE=4$\sqrt{2}$，
∴CE=8，
∴AK=CK=KE=4，KB=BE=2，
∵∠BED=∠AKB=90°，
∴∠ABK+∠KAB=∠ABK+∠DBE=90°，
∴∠KAB=∠DBE，
∴△AKB∽△BED，
∴$\frac{AK}{BE}=\frac{BK}{DE}$，
∴DE=1．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．