Question

9．問題提出：如圖，已知：線段AB，試在平面內(nèi)找到符合條件的所有點C，使∠ACB=30°．（利用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．
嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：先作出等邊三角形AOB，然后以點O 為圓心，OA長為半徑作⊙O，則優(yōu)弧AB上的點即為所要求作的點（點A、B除外），根據(jù)對稱性，在AB的另一側符合條件的點C易得．請根據(jù)提示，完成作圖．
自主探索：在平面直角坐標系中，已知點A（3，0）、B（-1，0），點C是y軸上的一個動點，當∠BCA=45°時，點C的坐標為（0，2+$\sqrt{7}$）或（0，-2-$\sqrt{7}$）．

Answer 1

分析 （1）利用題中所給思路畫出兩段優(yōu)弧即可；
（2）類似（1）中的畫法作出滿足條件的C點，如圖2，然后利用勾股定理計算出CD的長，從而確定C點坐標，利用對稱可得到C′點的坐標．

解答 解：（1）如圖1，兩段優(yōu)弧（不含A、B兩端點）為所作；

（2）如圖2，

先作等腰直角△PAB，再以P點為圓心，PA為半徑作⊙O交y軸于C點，
作PD⊥y軸于D，易得P（1，2），PA=2$\sqrt{2}$，
∴PC=2$\sqrt{2}$，
∴CD=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴OC=2+$\sqrt{7}$，
∴C（0，2+$\sqrt{7}$），
同理可得C′（0，-2-$\sqrt{7}$），
綜上所述，滿足條件的C點坐標為C（0，2+$\sqrt{7}$）或（0，-2-$\sqrt{7}$）．
故答案為（0，2+$\sqrt{7}$）或（0，-2-$\sqrt{7}$）．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．解決本題的關鍵是圓周角定理的運用．