Question

3．二次函數y=x²+mx+n的圖象的頂點在直線y=-4上，該圖象與直線y=x+2，y=-$\frac{1}{2}$x+1在0≤x≤2內各有一個交點，則m的取值范圍是-8≤m≤-2$\sqrt{6}$或-4+4$\sqrt{2}$≤m$≤2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據二次函數y=x²+mx+n的圖象的頂點在直線y=-4上，確定n=$\frac{{m}^{2}-16}{4}$，代入解析式中，分兩種情況：
①當拋物線L₁的左半部分與兩直線在0≤x≤2內各有一個交點時，滿足：x=0時，y=$\frac{{m}^{2}-16}{4}$≥2，x=2時，y≤0，列不等式組求出解集；
②當拋物線L₂的右半部分與兩直線在0≤x≤2內各有一個交點，則滿足：當x=2時，y≥4，當x=0時，y≤1，
列不等式組求出解集即可．

解答 解：∵二次函數y=x²+mx+n的圖象的頂點在直線y=-4上，
∴$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=-4，
∴n=$\frac{{m}^{2}-16}{4}$，
∴y=x²+mx+$\frac{{m}^{2}-16}{4}$，
如圖所示：分兩種情況：
①當拋物線L₁的左半部分與兩直線在0≤x≤2內各有一個交點，
則滿足x=0時，y=$\frac{{m}^{2}-16}{4}$≥2，
x=2時，y≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}-16}{4}≥2}\\{4+2m+\frac{{m}^{2}-16}{4}≤0}\end{array}\right.$，
解得：-8≤m≤-2$\sqrt{6}$；
②當拋物線L₂的右半部分與兩直線在0≤x≤2內各有一個交點，
則滿足：當x=2時，y≥4，
當x=0時，y≤1，
即$\left\{\begin{array}{l}{4+2m+\frac{{m}^{2}-16}{4}≥4}\\{\frac{{m}^{2}-16}{4}≤1}\end{array}\right.$，
解得：-4+4$\sqrt{2}$≤m$≤2\sqrt{5}$；
綜上所述，則m的取值范圍是：-8≤m≤-2$\sqrt{6}$或-4+4$\sqrt{2}$≤m$≤2\sqrt{5}$；
故答案為：-8≤m≤-2$\sqrt{6}$或-4+4$\sqrt{2}$≤m$≤2\sqrt{5}$．

點評 本題是二次函數和一次函數的綜合題，考查了二次函數和一次函數的圖象的性質，有難度，根據已知條件，利用數形結合的思想解決此題，并與不等式組相結合，利用不等式組的解集確定m的取值范圍．