Question

8．如圖，過矩形ABCD頂點A，B的⊙O與CD相切于點E，與AD，BC分別相交于點G，H，連接EH，AH．
（1）求證：EH平分∠AHC；
（2）若AB=6，BH=8，求EH的長．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接EO，延長EO交AB于N，首先證明EN∥BC，推出∠OEH=∠EHC，由OE=OH，推出∠OEH=∠OHE，即可證明．
（2）由四邊形ENBC是矩形，利用勾股定理先求出EN，BC，CH，CE即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖，連接EO，延長EO交AB于N，
∵CD是切線．
∴CD⊥OE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB∥CD，
∴EN⊥AB，
∵BC⊥AB，
∴EN∥CB，
∴∠OEH=∠EHC，
∵OE=OH，
∴∠OEH=∠OHE，
∴∠OHE=∠EHC，
∴EH平分∠AHC．

（2）∵四邊形ENBC是矩形，
∴AN=BN=EC=3，
在Rt△ABH中，∵AB=6，BH=8，
∴AH=$\sqrt{A{B}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OE=5，ON=$\frac{1}{2}$BH=4，
∴BC=EN=OE+ON=9，
∴CH=BC-BH=1，
∴EH=$\sqrt{E{C}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點評 本題考查切線的性質、矩形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，屬于中考常考題型．